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Spontane Symmetriebrechung

LHC und das Higgs Boson
Spontane Brechung von Symmetrien
Wozu der LHC gebraucht wird!

1 Probleme der schwachen Wechselwirkung und ihrer Eichung

Die IVB - Theorie (Intermediäre Vektor Bosonen) beschreibt viele Prozesse der schwachen Wechselwirkung erfolgreich, aber sie läßt auch einige Fragen offen.
In Analogie zur elektro - magnetischen Wechselwirkung wird die schwache WW auch durch Übertragung von Quanten (W - Teilchen) beschrieben.
Das zugehörige Feld ist ein Vektorfeld, und folglich sind die W - Teilchen Vektorbosonen mit Spin 1. Man kann jetzt folgern, daß die W - Bosonen sehr schwer sind (erklärt die kurze Reichweite der schwachen WW, im Gegensatz zur großen Reichweite der elektro-magn. WW mit ihren masselosen Photonen).
In den Hochenergie - Experimenten des CERN wurden mit Hilfe des $pp¯$ - Beschleuniger die W - Bosonen detektiert und ihre Masse bestimmt zu

mW ≃ 80.6 GeV

Die IVB - Theorie kann Prozesse wie

νμ + e- - → ν μ + e-

ν¯μ + e- - → ν¯μ + e-

nicht beschreiben. Aber gerade aus diesen Prozessen geht das $Z0$ - Boson hervor.
Die Existenz der $0 Z$ - Bosonen wird mit der Standard Elektroschwachen Theorie hergeleitet. Ihr Nachweis erfolgte am gleichen Beschleuniger, der die W - Bosonen detektierte. Die Masse wurde bestimmt zu

mZ ≃ 91.16 GeV

In der Eichtheorie der schwachen WW benötigt man für die Eichinvarianz, daß alle Leptonen und Vektor - Bosonen masselos sind. Die Lagange - Dichte des freien (nicht wechselwirkenden) Eichfeldes lautet

B 1- μν 1- † μν 1- μν L 0 = - 4 Fμν(x)F (x) - 2F Wμν(x )F W (x) - 4Z μν(x)Z (x)

Diese Gleichung beschreibt also massenlose Spin 1 Teilchen ( $± 0 γ, W und Z$ Bosonen). Fügt man jetzt zur Lagrange - Dichte den Massenterm

2 † μ 1 2 μ m W W μ(x)W (x) + 2m ZZ μ(x)Z (x)

hinzu, ist diese unter den SU(2) $×$ U(1) Transformationen nicht mehr eichinvariant.
Um nun aber doch von null verschiedene Massen einzuführen, verwendet man den Mechanismus der spontan gebrochenen Symmetrie .

2 Das Goldstone - Modell

Um die Eichinvarianz der Lagrange - Dichte zu erhalten, und dennoch den Vektorbosonen und Leptonen Massen zuordnen zu können, führt man den Mechanismus der spontanen Symmetriebrechung ein.
Man betrachtet hierzu ein System, dessen Lagrange - Dichte eine bestimmten Symmetrie (z.B. Kugelsymmetrie) aufwiest, d.h. invariant unter entsprechenden Symmetrietransformationen ist.
Sind die Energieniveaus dieses Systems nicht entartet, so sind die Energieeigenzustände eindeutig. Im entarteten Fall sind diese nicht invariant: Wählt man willkürlich einen aus den entarteten Zuständen als Grundzustand heraus, erfüllt dieser nicht mehr die Symmetrie der Lagrange - Dichte. Auf diese Weise bekommt man einen unsymmetrischen Grundzustand. $↝$ spontane Symmetriebrechung!
Die Asymmetrie ist nicht auf die zusätzlichen, nicht invarianten, unsymmetrischen Terme zurückzuführen, sondern auf die Eigenschaften des ausgezeichneten Grundzustandes.
Für die Feld -Theorie interessant ist der Fall, daß das Vakuum nicht eindeutig festgelegt ist. Eine Feldgröße des Vakuums ist in diesem Fall nicht invariant unter Symmetrietransformationen. Man charakterisiert jetzt einen einzelnen Vakuumzustand als Grundzustand. Die Feldgröße setzt man als Vakuumerwartungswert des quantisierten Feldes an.
Nimmt man die Invarianz des Vakuumzustandes unter Lorentz - Transformationen und unter Translationen an, muss das Feld ein Skalar sein. Der Vakuumerwartungswert muss konstant sein.

< 0|ϕ(x )|0 >= c ⁄= 0

Das einfachste feldtheoretische Beispiel der spontanen Symmetriebrechung ist das Goldstone - Modell. Dessen Lagrange - Dichte lautet

μ * 2 2 4 L(x ) = [∂ ϕ (x)][∂μϕ (x )] - μ |ϕ(x)| - λ|ϕ (x)| (1)

mit $ϕ (x) = √1[ϕ (x) + iϕ (x)] 2 1 2$ komplexes, skalares Feld
$2 μ ,λ$ : beliebige, reelle Größen
Zur Vereinfachung betrachtet man klassische Feldtheorie, d.h. $μ$ wird nicht als Teichenmasse angesehen.
Die Lagrange - Dichte ist invariant unter einer globalen U(1) Phasentransformation.

′ iα ϕ (x) - → ϕ (x ) = ϕ(x )e (2) ϕ*(x) -→ ϕ*′(x ) = ϕ*(x)e- iα (3)

Die Hamilton - Dichte ergibt sich zu

0 * * H (x ) = [∂ ϕ (x)][∂0ϕ (x)] + [∇ ϕ (x)] ⋅ [∇ ϕ(x)] (4) + μ2|ϕ(x)|2 + λ|ϕ(x)|4 ◟---------◝◜---------◞ V(ϕ):potentielleEnergie-Dichte

Damit die Energie des Feldes nach unten begrenzt ist, muss $λ > 0$ sein. Die ersten beiden Terme sind positiv definit, und verschwinden für konstantes $ϕ (x )$ .
Für $μ2$ führt man eine Fallunterscheidung durch :

1. Fall: $μ2 > 0$
In diesem Fall ist $V(ϕ )$ positiv definit. Die potentielle Energiefläche $V(ϕ )$ ist als Funktion von $ϕ1 (x )$ und $ϕ2(x)$ dargestellt.

Es liegt ein eindeutiges Minimum für $ϕ(x) = 0$ vor (keine spontane Symmetriebrechung). Läßt man den Term $λ|ϕ|4$ weg, erhält man die bekannte Lagrange - Dichte des Klein - Gordon Feldes

L = 1(∂ ϕ ∂μϕ - μ2ϕ ) (5) 0KG 2 μ

Im quantisierten Fall ergeben sich geladene Spin 0 - Teilchen mit Masse $μ$ . Der Vakuumszustand ist eindeutig mit $< 0|ϕ(x)|0 >= 0$ . Man betrachtet den Term $4 λ |ϕ (x )|$ als Störterm, der in der quantisierten Theorie zu Selbstwechselwirkung der Teilchen führt.

2. Fall: $μ2 < 0$
Die Extremwerte von $V(ϕ )$ liegen bei
$ϕ (x ) = 0 ↝ lokales M aximum$
$∘ ---- ϕ (x ) = ϕ0 = -μ2eiθ , 0 ≤ θ < 2π ↝ ganzer Kreis absoluter M inima 2λ$

Man sieht, daß der Vakuum - Zustand in diesem Fall nicht eindeutig ist. Zeichnet man eine bestimmte Richtung $θ$ aus und definiert den erhaltenen Zustand als Vakuum - Grundzustand, tritt spontane Symmetriebrechung auf.
Da die Lagrange - Dichte invariant unter den globalen Phasentransformationen (2-3) ist, kann man $θ$ beliebig wählen. Man setzt der Einfachheit halber $θ = 0$ . Damit erhält man

1 - μ2 1 ϕ0 = √--(----)1∕2 = √---v > 0, reell mit μ2 < 0 (6) 2 λ 2

Man erhält also für den Vakuum - Erwartungswert

< 0|ϕ(x)|0 >= ϕ (7) 0

Dies ist die Bedingung für spontane Symmetriebrechung in quantisierter Theorie.
Man führt nun zwei reelle, skalare Felder $σ(x)$ und $η(x)$ ein, welche die Abweichungen des Feldes $ϕ(x)$ von der Grundzustands - Konfiguration (Gleichgewichtslage) anzeigen.

1 ϕ(x ) = √---[v + σ(x ) + iη(x)] (8) 2 * -1-- ϕ (x ) = √ 2 [v + σ(x ) - iη(x)] (9)

Man kann dieses Resultat erhalten, indem man $1 ϕ(x ) = √2(ϕ1(x) + iϕ2(x))$ schreibt, als

η(x) ϕ (x) = √1-(v + σ(x)) ⋅ ei-v 2

(Transformation auf Polarkoordinaten) und dann für $σ, η ≪ v$ entwickelt

√1-- η(x)- ϕ(x) ≃ 2(v + σ(x))(1 + i v ) 1 = √--(v + σ(x) + iη(x)) 2

Die Lagrange - Dichte (1) läßt sich dann mit (7-8) und $μ2 = - λv2$ umschreiben in

μ * 2 2 4 L(x ) = [∂ ϕ (x)][∂ μϕ(x)] - μ |ϕ (x)| - λ|ϕ(x)| = 1-[∂ μv+ ∂μσ (x ) - i∂μ η(x)][∂ v + ∂ σ(x) + i∂ η(x)] 2 ◟◝◜◞ ◟μ◝◜◞ μ μ =0 =0 21- 1- 2 - μ 2 (v + σ (x) + iη(x ))(v + σ (x ) - iη(x)) - λ4 [(v + σ (x ) + iη(x))(v + σ(x) - iη(x))] 1 1 = --[∂ μσ(x)∂μσ (x )] +--[∂μ η(x)∂μη(x)] 2 2 2 - μ-(v2 + σ2(x ) + η2(x) + 2vσ (x)) - λ(v2 + σ2(x) + η2(x) + 2vσ(x ))2 2 4 1 μ 1 2 2 = --[∂ σ(x)][∂μσ (x)] ---(2λv )σ (x) (10 ) 2 2 + 1[∂μη (x )][∂μη(x)] - λvσ(x )(σ2 (x ) + η2(x )) - 1-λ(σ2(x) + η2(x))2 + λ-v4 2 4 2◟◝◜◞ =const

Die so erhaltene Lagrange - Dichte ist identisch zu (1), nur in anderen Variablen ausgedrückt. Diese Äquivalenz gilt allerdings nur bei exakter Lösung. Bei störungstheoretischer Behandlung ergeben sich ganz andere Bilder.
Würde man in (1) den Term $λ|ϕ(x)|4$ als Störterm betrachten, so ergäben sich in der quantisierten Theorie imaginäre Massen. Dieses unphysikalische Ergebnis war auch zu erwarten, denn man befindet sich bei $ϕ(x) = 0$ nicht in einem Gleichgewichtssystem, welches eine Voraussetzung für Störungstheorie ist. Es bietet sich hier eine andere Vorgehensweise an. Man betrachtet

1 1 L0 (x) = -[∂μσ(x )∂ μσ(x)] - -(2λv2)σ2 (x ) (11) 2 2 +1-[∂ μη(x)∂ η(x )] 2 μ

als freie Lagrange - Dichte und die Terme mit $(σ2 (x) + η2 (x ))$ als Wechselwirkungsterme. Da $σ (x)$ und $η(x)$ die Abweichung vom stabilen Gleichgewichtszustand $ϕ0$ bemessen, kann man die WW - Terme störungstheoretisch behandeln.
Die freie Lagrange - Dichte (10) besitzt keine Terme, die $σ$ und $η$ aneinander koppeln. Man kann somit $σ(x)$ und $η(x)$ als Normalkoordinaten betrachten. Betrachtet man die Lagrange - Dichte des Klein - Gordon Feldes (5) sieht man, daß $σ(x )$ und $η(x)$ reelle Klein - Gordon Felder beschreiben. Bei einer Quantisierung führen beide Felder zu Spin 0 - Teilchen, mit dem Unterschied, daß das $σ$ - Boson eine reelle Masse $√ ----- 2λv2$ besitzt, während das $η$ - Boson masselos bleibt (in $L 0$ ist kein Term mit $η2$ vorhanden).
Man kann sich das obige Massenspektrum auch anhand der Abbildung erklären, wenn man kleine Abweichungen $σ(x)$ und $η(x)$ von $ϕ0$ betrachtet:
$σ (x )$ stellt eine Abweichung in der Ebene $ϕ = 0 2$ dar, in der die potentielle Energie $V (x)$ quadratisch zunimmt. $η(x)$ hingegen stellt ein Verrücken entlang des Minimum - Tales der Potentiellen Energie dar, in der $V (x)$ konstant bleibt. Die dazugehörigen Quantenanregungen ( $η$ - Bosonen) bleiben masselos. Die Masselosigkeit der $η$ - Bosonen ist eine direkte Konsequenz der Entartung des Vakuumzustandes.
Diese Art von Bosonen ergeben sich immer bei Theorien, die spontene Symmetriebrechung beinhalten. Man bezeichnet sie als Goldstone - Bosonen.
Da in der Natur keine Goldstone - Bosonen beobachtet wurden, muß man bei der Entwicklung des Eichtheorie mit spontaner Symmetriebrechung darauf hinarbeiten, da diese Bosonen nicht generiert werden.

2.1 Analogie Ferromagnet

Beispiele für spontane Symmetriebrechung durch den Grundzustand eines Systems sind aus der Festkörperphysik bekannt, und werden dort durch den Begriff der Ordnung eines Zustandes gekennzeichnet.
Bei einem Ferromagneten (ohne äußeres Magnetfeld) tritt unterhalb der Curie - Temperatur eine spontane Magnetisierung auf. Der Hamiltonian lautet

∑ H = - 1-J σi ⋅ σj 2 (i,j)

mit der Summation über alle benachbarten Orte (i,j) und $σi$ der Spin am Ort i.
H ist Rotationsinvariant, und der die Drehung beschreibende unitäre Operator U(R) kommutiert mit H

U (R )H = HU (R )

Die Energieeigenzustände sind jedoch nicht immer rotationsvariant. Der Grundzustand (unterhalb der Curie - Temperatur T $C$ ) des Systems hat einen von Null verschiedene Magnetisierung M, welche nicht rotationsinvariant ist.
Die Invarianz bedeutet lediglich, da der Grundzustand $|M >$ und der Zustand $|M ′ >$ , wobei

M ′i = RijMj

entartet sind. Der Zustand mit Magnetisierung M hat dieselbe Energie wie der Zustand $′ M$ nach der Drehung. Erhitzt man den Ferromagneten über T $C$ (dort verschwindet M), und kühlt ihn anschlieend wieder auf die ursprüngliche Temperatur ab (immer noch ohne äußeres Magnetfeld) besitzt der Grundzustand im allgemeinen eine Magnetisierung $M ′ ⁄= M$ .
Also besitzt die Symmetrie eine Entartung im Grundzustand. Jeder einzelne Grundzustand ist nicht symmetrisch, da die Magnetisierung in eine bestimmte Richtung zeigt. Diese Richtung wird vom System spontan ausgewählt.

3 Das Higgs-Modell

Als einen wichtigen Zwischenschritt zum Ziel der elektroschwachen Wechselwirkung mit Bosonen- und Leptonenmassen betrachtet man nun das Higgs-Modell und den so genannten Higgs-Mechanismus.Das Higgs-Modell kann man auffassen als ein auf U(1)-Eichinvarianz erweitertes Goldstone-Modell. Also läßt die Eichtransformation

′ - iqf(x) ϕ(x) → ϕ (x) = ϕ(x)e ϕ*(x) → ϕ*′(x) = ϕ*(x)eiqf(x) (12) ′ A μ(x) → A μ(x) = Aμ (x ) + ∂μf (x)

die Lagrangedichte invariant.

Die Lagrangedichte erhält man wie üblich, indem man die kovariante Ableitung einführt:

Dμ ϕ(x) = [∂ μ + iqA μ(x)]ϕ(x )

und dann die Lagrangedichte des freien Eichfeldes

∞-- νμ L(§) = - △ F νμ(§)F (§)

mit

Fμν(x ) = ∂ νAμ(x) - ∂μA ν(x)

(vgl.4.Vortrag) sozusagen an die Goldstone-Lagrangedichte anhngt. Man erhält damit die U(1)-eichinvariante Lagrangedichte des Higgs-Modells.

L(§) = [D μϕ (x )]* [D ϕ(x )] - μ2 | ϕ(x) |2 - λ | ϕ(x ) |4 μ - 1F (x )F νμ(x) (13) 4 νμ

Die weiteren Schritte verlaufen analog zum Goldstone-Modell.Es ist wieder $λ > 0$ (Energie nach unten beschränkt) und man macht wieder die Fallunterscheidung:

1.Fall: $μ2 > 0$
Im Grundzustand verschwinden sowohl $ϕ (x )$ , als auch $A μ(x )$ und es tritt keine spontane Symmetriebrechung auf.

2.Fall: $2 μ < 0$
Es ergibt sich wiederum ein Minimum-Kreis mit

∘ ---2- ϕ0(x) = - μ--⋅ eiθ 2λ

Wählt man hier wieder für den Grund-Zustand einen speziellen Wert $ϕ0$ aus, führt dies zur SSB.

∘----2 θ = 0 ↝ ϕ0 = - μ-- = √1--v (> 0) 2 λ 2

Setze analog:

1 ϕ(x) = √---[v + σ(x) + iη (x )] 2

Damit ergibt sich:

1 L(§) = [D μϕ(x)]*[D μϕ(x)] - μ2 | ϕ(x) |2 - λ | ϕ(x) |4 --F νμ(x)F νμ (x ) ( ) 4 = 1[∂μσ (x)][∂ σ(x)] - 1-2 λv2 σ2 (x) 2 μ 2 1- νμ 1- 2 μ - 4 Fνμ(x)F (x) + 2(qv) A μ(x)A (x) 1 + --[∂μη(x)][∂μη(x)] 2 μ +qvA (x)∂μη (x ) + W echselwirkungsterme (14)

Aus dieser Lagrangedichte kann man nun aber nicht so einfach Masseterme ablesen, wie beim Goldstone-Modell. Für die erste Zeile, die ein reelles Klein-Gordon Feld beschreibt, funktioniert das Verfahren noch. Hier erhält man durch Quantisierung ungeladene Spin 0-Bosonen mit Masse $√ ----- m σ = 2λv2.A μ(x )$ und $η(x)$ sind aber keine Normalkoordinaten mehr, wie man am Produktterm $μ A (x)∂μη(x )$ erkennt. Dies verbietet einem eine weitere Interpretation von Zeile zwei, als Beschreibung massiver Vektorbosonen und von Zeile drei als Beschreibung masseloser, skalarer Bosonen.

Ein weiteres Argument gegen diese einfache Interpretation von $L(§)$ ist ein Vergleich der Freiheitsgrade von (13) und (14).Gleichung (13) besitzt vier Freiheitsgrade:Das komplexe Skalarfeld $ϕ (x )$ besitzt zwei, und das reelle, masselose Vektorfeld $A μ$ beschreibt nochmals zwei Freiheitsgrade.(Zur Erinnerung:Masselose Photonen besitzen zwei, unabhängige Polarisationsrichtungen. Der dritte Freiheitsgrad wird durch geeignete Eichung eliminiert (vgl. Vortrag vier)).

Gleichung (14) dagegen, erhält zwei Freiheitsgrade aus den beiden reellen Skalarfeldern $σ(x)$ und $η(x)$ und dazu drei Freiheitsgrade aus dem massiven Vektorfeld $A μ(x)$ (Masseterm $1 2 μ 2(qv) A μA$ in $L (§)$ ), also insgesamt fünf Freiheitsgrade! Da sich die Anzahl der Freiheitsgrade nicht durch eine einfache Variablensubstitution ändern kann, muß Gleichung (14) ein unphysikalisches Feld enthalten, welches keine reellen Teilchen beschreibt und das man durch eine geeignete Eichtransformation (12) zum verschwinden bringen kann.Man findet, da $η (x )$ durch solch eine Transformation, in diesem Fall unitäre Eichung genannt, eliminiert werden kann, so daß sich $ϕ(x)$ reduziert auf:

ϕ(x) = √1--[v + σ (x )] 2

(15)

Man erhält dieses Resultat, indem man wieder $ϕ(x )$ schreibt
(analog zum Goldstone-Modell), als

-1-- iη(x) ϕ (x) = √ -(v + σ(x)) ⋅ e v 2

Und da $L (§)$ eichinvariant ist, kann man den unitären Faktor, der der Transformation den Namen gibt, direkt ablesen:

′ -iη(xv) ϕ(x) → ϕ (x) = ϕ(x)e

Damit ergibt sich dann (15). Mit diesem $ϕ(x)$ hat man nun für die Lagrangedichte $L(§)$ :

1 μ 1 2 2 } L(x) = 2[∂ σ(x)][∂μσ (x)] - 2(2λv )σ (x) L (x) - 14Fμν(x)F μν(x) + 12(qv)2A μ(x )Aμ(x) 0

- λvσ3 (x ) - 1λσ4(x) + λv4 } 1 2 μ 4 2 2 LI(x) + 2q A (x)Aμ (x )[2vσ (x) + σ (x)]

L (x) = L (x) + L (x) (16) 0 I

Da $L ′(§)$ keine Terme enthält, die $σ (x)$ und $A μ(x)$ miteinander koppeln, kann man $L (§) ′$ als die freie Lagrangedichte eines reellen Klein-Gordon Feldes $σ (x )$ und eines reellen, massiven Vektorfeldes $A μ(x)$ betrachten. Darin begründet sich der bis jetzt getriebene Aufwand:Aus einem komplexen Skalarfeld und einem masselosen Vektorfeld, wurde ein reelles Skalarfeld und ein massives Vektorfeld.Durch Quantisierung von $L ′(§)$ erhält man aus $σ(x)$ ungeladene, skalare Bosonen der Masse $√2-λv2-$ , genannt Higgs-Bosonen oder Higgs-Skalare und aus $Aμ(x )$ ungeladene Vektorbosonen der Masse $(qv )$ .Das Verfahren, das aus masselosen Vektorbosonen massive Vektorbosonen erzeugt, ohne dabei die Eichinvarianz zu verletzen nennt sich Higgs-Mechanismus und man kann ihn auch erfolgreich auf nicht-abelsche Eichtheorien anwenden, was im nächsten Kapitel für den Fall der SU(2) $×$ U(1)-Eichtheorie vorgeführt wird.

Es bleibt abschließend noch die Betrachtung der Freiheitsgrade von (16). Die Zahl der Freiheitsgrade von (14) hat sich um eins auf vier reduziert, so da sie mit der Zahl der Freiheitsgrade von (13) übereinstimmt.Aus den zwei Freiheitsgraden des komplexen Skalarfeldes $ϕ (x)$ ist ein Freiheitsgrad des reellen Skalarfeldes $σ (x )$ geworden und der zweite Freiheitsgrad des $η(x)$ wurde auf das Vektorfeld $A μ(x)$ übertragen, das dadurch Masse zugeordnet bekam. Weil das Skalarfeld $η(x )$ durch die unitäre Eichung zum verschwinden gebracht wurde, werden nun auch keine Goldstone-Bosonen generiert, so daß das Problem des letzten Kapitels, der nicht nachgewiesenen Goldstone-Bosonen nicht auftreten kann.

4 Spontane Symmetriebrechung in elektroschwacher Theorie

Im letzten Vortrag wurde ein vereinheitliches Modell von elektromagnetischer und schwacher Wechselwirkung entwickelt. Dieses Modell umfat aber keine Massen von Leptonen und Eichbosonen. Die Lagrange - Dichte hierfür lautete :

L B L = L + L (17)

mit

LL : leptonische Lagrange - Dichte L L L R R R R L = i[¯Ψ l (x)D∕Ψ l (x) + ψ¯l (x)D∕ψ l + ¯ψνl(x )D∕ψ νl(x)] LB : Eichbosonen Lagrange - Dichte LB = - 1B μν(x)B μν(x ) - 1Giμν(x)G μiν(x) 4 4

Diese Lagrange - Dichte ist invariant unter SU(2) $×$ U(1) Eichtransformationen.

4.1 Eichbosonenmassen

Man wendet jetzt den Higgs - Mechanismus auf dieses Modell an, um nicht verschwindene Massen für die W $±$ , Z $0$ Bosonen zu generieren. Um die Eichinvarianz spontan zu brechen, führen wir ein Higgs - Feld (zur Erinnerung : ein skalares Feld, mit nicht verschwindenem Vakuumserwartungswert, welcher nicht-invariant unter der Eichtransformation ist) ein.
Um die SU(2) - Symmetrie zu brechen, mu man ein Feld einführen, welches mehrere Komponenten besitzt und einen von Null verschiedenen Isospin aufweist. Die einfachste Möglichkeit ist das schwache Isospin Dublett

( ) ϕa(x ) Φ (x) = ϕb(x )

mit skalaren Feldern $ϕ a$ und $ϕ b$ .
Die Transformationsgesetze für $Φ (x)$ unter SU(2) $×$ U(1) Eichtransformationen, sind die bereits zitierten für das Isospin Dublett $L Ψl (x)$ . Also transformiert sich $Φ (x)$ analog unter SU(2)-Transformation gemäß :

Φ(x ) → Φ′(x) = exp[ig τjωj (x )]Φ (x) (18) 2 Φ †(x ) → Φ†′(x ) = Φ †(x)exp [- igτjωj(x)∕2]

und unter U(1)-Transformationen (Y : schwache Hyperladung) gemäß :

′ ′ Φ (x) → Φ (x) = exp[ig Yf (x)]Φ (x) (19) Φ †(x) → Φ †′(x) = Φ†(x) exp[- ig′Y f(x)]

In der Absicht die Lagrange - Dichte (17) zu verallgemeinern, bezieht man das Higgs Feld $Φ (x)$ mit ein (einschlielich der WW mit den Eichbosonen Feldern) und behält die SU(2) $×$ U(1) Eichinvarianz bei.

L = LL + LB + LH (20)

wobei $H L$ die Form hat

H μ † 2 2 4 L = [D Φ (x)][D μΦ(x )] - μ |Φ(x)| - λ|Φ(x)|

und die kovariante Ableitung hier folgende Form besitzt

i D μΦ (x) = [∂ μ + -gτjW jμ+ g ′Y B μ(x)]Φ (x) 2

Der Ausdruck $LB + LH$ ist eine direkte Verallgemeinerung der Lagrange - Dichte des Higgs Modells, und damit ist die weitere Vorgehensweise analog zu diesem.
Für $λ > 0$ und $2 μ < 0$ ist die klassische Energiedichte ein Minimum für ein konstantes Higgs Feld

( 0 ) Φ(x) = Φ0 = ϕa (21) ϕ0b - μ2 Φ †0Φ0 = |ϕ0a|2 + |ϕ0b|2 = ----- 2 λ

und alle anderen Felder verschwinden. Wählt man für den Grundzustand einen speziellen Wert $Φ0$ , führt dies zur spontanen Symmetriebrechung. O.b.d.A., kann man wählen

( 0 ) ( ) Φ0 = ϕ a = 0v (22) ϕ0b √2-

Das Higgs Feld des Vakuum Grundzustands ist im allgemeinen nicht-invariant unter SU(2) $×$ U(1) Eichtransformationen. Es muß jedoch invariant unter U(1) elektromagnetischer Eichtransformation sein, um die masselosen Photonen und die Erhaltung der elektrischen Ladung zu sichern.
Ordnet man dem Higgs Feld die schwache Hyperladung $Y = + 1 2$ zu, folgt mit $1 Y = Q ∕e - 2τ3$ , da $ϕb(x)$ elektrisch ungeladen ist. Dies bedeutet, daß SSB nur in der elektrisch ungeladenen Komponente des Vakuum Feldes betrachtet werden kann und die Ladungserhaltung ist gesichert.
Die elektromagnetische Eichtransformation für das Higgs Feld lautet

Φ (x) → Φ ′(x ) = Φ(x) exp[- i(Y + 1τ3)ef(x)] 2

angewandt auf das Vakuum Feld ergibt sich

′ Φ0 → Φ 0 = Φ0

Das Vakuum Feld ist also invariant unter elektromagnetischer Eichtransformation
Ein beliebiges Higgs Feld $Φ (x)$ kann durch Terme parametrisiert werden, die die Abweichung vom Vakuum Feld $Φ0$ angeben

1 ( η (x) + iη (x) ) Φ (x) = √--- 1 2 (23) 2 v + σ (x) + iη3(x)

Dies bedeutet, daß die Lagrange - Dichte $LH$ durch vier reelle Felder $σ (x)$ und $ηi(x ), i = 1,2,3$ ausgedrückt werden kann.
Die Interpretation und Quantisierung dieser Felder führt zu den vom Higgs Modell bekannten Schwierigkeiten. Dies legt eine analoge Vorgehensweise nahe. Für die hierzu notwendige unitäre Eichung sei auf die Textbücher verwiesen. Man findet, daß die Felder $η(x ), i = 1,2,3 i$ unphysikalisch sind. Durch die unitäre Eichung transformieren sich diese weg, und die W $±$ und Z $0$ Bosonen erhalten Masse. In Analogie zum Higgs Modell nimmt $Φ (x)$ folgende Gestalt an

( ) Φ(x ) = √1-- 0 2 v + σ(x)

Das Photon bleibt hingegen masselos, da die elektromagnetische Eichsymmetrie nicht spontan gebrochen wird. Bei der unitären Eichung bleibt das Feld $σ (x )$ über, und durch Quantisierung gelangt man zu massiven, elektrisch ungeladene Spin 0 Teilchen (Higgs Skalare) und zu massiven $W +,W - ,Z0$ - Bosonen.

4.2 Leptonenmassen

Nachdem nun die Eichbosonen ihre Massen erhalten haben, fehlt noch ein Term in der Lagrangedichte, der auch für die Leptonen Massen generiert. Man erhält einen solchen Term, indem man das Leptonenfeld mit dem Higgsfeld durch Yukawa-Wechselwirkung koppelt und den Wechselwirkungsterm $LH L$ zu der bisherigen Lagrangedichte hinzuaddiert:

L B H LH L = L + L + L + L

Dabei beschreibt der Begriff Yukawa-Wechselwirkung bzw. Yukawa-Kopplung einen Term der Form $¯ ψ(x)ϕ(x )ψ(x)$ , mit $ψ(x)$ als Spinorfeld und $ϕ(x)$ als Skalarfeld. Hier lautet die Wechselwirkungs-Lagrangedichte folgendermaßen:

[ ] LLH (§) = - glΨ¯Ll (x )ψRl (x)Φ (x) + Φ†(x)ψ¯Rl (x)ΨLl (x) [ ] - gνl Ψ¯Ll (x)ψRνl(x)˜Φ (x) + ˜Φ†(x)¯ψRνl(x)ΨLl (x) (24)

$˜ Φ (x)$ ist definiert durch:

( ) [ ]T ϕ *(x ) ˜Φ (x ) = - i Φ †(x)τ2 = b* - ϕ a(x )

und $gl$ und $gνl$ stellen dimensionslose Kopplungskonstanten dar. Die so erhaltene Lagrangedichte (24) ist $SU (2) × U(1)$ -eichinvariant (siehe Anhang D).Im Anhang E wird gezeigt, wie sich in der unitären Eichung die Leptonenmassen ergeben zu $m = v√gl l 2$ und $m = vg√νl νl 2$ .

4.2.1 Neutrinomassen

In der ursprünglich von Weinberg und Salam formulierten Theorie, wurde die Kopplungskonstante $gνl = 0$ gesetzt, was dann auf masselose Neutrinos führte.In der zweiten Zeile von (24) wird die Neutrinomasse auf die einfachste Art und Weise über die Kopplungskonstante $gνl$ eingeführt. Dies führt zu einer Neutrinomasse $m ν = v√gνl l 2$ (s.o.).Eine interessante Erweiterung der Theorie ergibt sich, wenn man die Kopplungskonstante $gνl$ durch eine hermitesche Kopplungsmatrix $Gl′l$ ersetzt.In der zweiten Zeile von (24) steht damit der Term:

L R * † R L - Gl′l¯Ψl (x )ψνl(x )Φ˜(x) - G l′lΦ˜ (x)¯ψνl(x )Ψl (x )

In der unitären Eichung kann man $Gl′l$ diagonalisieren und erhält Neutrino-Eigenzustände $νi (i = 1,2, ...)$ mit Massen $mi = λ√v- 2$ .Die leptonischen Neutrinos $νl (l = e,μ,...)$ sind dabei Linearkombinationen dieser Neutrino-Eigenzustände $νi$ . Als Ergebnis erhält man eine Mischung der Neutrinos, wie z.B. aus der Zeitentwicklung einer Superposition von Energieeigenzuständen bekannt. Um ein einfaches Beispiel zu geben, betrachten wir eine Mischung des Myon- und des Elektron-Neutrinos aus den beiden Neutrino-Eigenzuständen $ν1$ und $ν2$ .Diese Mischung wird durch den Mischungswinkel $α$ charakterisiert:

( νμ) ( cosα sin α ) (ν1) = νe - sin α cos α ν2

Aus einem reinen $νμ$ - Strahl wird also nach einer gewissen Zeit ein reiner $νe$ - Strahl und dazwischen liegen $νμ - νe$ - Mischungen.Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Neutrino Flip $νμ → νe$ auftritt ist, wenn L die Entfernung von der Strahlungsquelle bezeichnet, gegeben durch:

[ ] 2 2 (m22 --m21)L P (νμ → νe) = sin α ⋅ sin 4E

Diese Neutrino-Flips könnte man nun als Observable in einem Experiment nachweisen und dann zurückschlieen, daß die Neutrinos eine Masse besitzen über die man aus den Meßdaten auch konkrete Aussagen treffen könnte. Dieser Nachweis ist dem (Super-)Kamiokande Experiment gelungen!

5 Anhänge

5.1 Anhang A

In der eichinvarianten elektroschwachen Wechselwirkung blieben die Eichfelder (und damit die Eichbosonen) masselos. Um jetzt massive Teilchen zu erhalten, ergänzt man die Lagrange - Dichte $L B L = L + L$ mit einem Massenterm.

2 † μ 1 2 μ +m W W μ(x)W (x) + -m ZZ μ(x)Z (x) 2

In den kompletten SU(2) $×$ U(1) Transformationsgleichungen werden die Eichfelder mit berücksichtigt. Die Gleichungen hierfür lauten

μ μ′ μ μ W i (x ) → W i (x) = W i (x) + δW i (x) ≡ W μi (x) - ∂μωi(x) - gϵijkωj (x )W μk (x) μ μ′ μ μ B (x) → B (x) = B (x ) - ∂ f(x)

Setzt man diese in den Massenterm ein, erhält man nicht verschwindene Anteile. Das Resultat ist, daß der Massenterm nicht-invariant unter den Transformationen ist.
Analog kann man dies für Fermionen sehen.

5.2 Anhang B : U(1) Eichinvarianz im Higgs Modell

Die Eichtransformationen sind gegeben durch die Gleichungen (12).
Die Lagrange - Dichte (13) läßt sich mit der angegebenen kovarianten Ableitung bzw der Definition des freien Eichfeldes umschreiben.
(als Abkrzung wird fr $ϕ (x ), A μ(x)$ geschrieben $ϕ, A μ$ )

μ μ * L = [(∂ - iqA )ϕ ] [(∂μ + iqA μ)ϕ] 2 2 4 - μ |ϕ | - λ|ϕ| - 1[(∂ A - ∂ A )(∂νA μ - ∂μA ν)] 4 ν μ μ ν

Setzt man hier die Gleichungen (12) ein erhält man

′ μ μ μ * iqf(x) L = [(∂ - iq(A + ∂ f(x)))ϕ e ] [(∂μ + iq(Aμ + ∂μf (x)))ϕe-iqf(x)] 2 *iqf(x) - iqf(x) * iqf(x) -iqf(x)2 - μ [ϕ e ϕe ] - λ[ϕ e ϕe ] 1- ν μ μ μ ν ν - 4[(∂ ν(A μ + ∂μf (x )) - ∂μ(A ν + ∂νf(x)))(∂ (A + ∂ f(x)) - ∂ (A + ∂ f(x)))] = [(∂μϕ *)eiqf(x) + ϕ*iq(∂μf(x ))eiqf(x) - iq(A μ + ∂μf (x))ϕ*eiqf(x)] [(∂μϕ )e -iqf(x) - ϕiq(∂μf (x))e-iqf(x) + iq(A μ + ∂ μf(x))ϕe- iqf(x)] - μ2 |ϕ |2 - λ|ϕ|4 - 1[(∂ νAμ + ∂ν∂μf (x) - ∂μA ν - ∂ μ∂νf(x))(∂νA μ + ∂ν∂μf (x) - ∂ μA ν - ∂ μ∂nuf(x )) 4 = [(∂μ - iqA μ)ϕ*]eiqf(x) - iqf(x) [(∂μ + iqA μ)ϕ ]e - μ2 |ϕ |2 - λ|ϕ|4 1 - -[(∂ νAμ - ∂μA ν)(∂νA μ - ∂μA ν)] 4 = L

5.3 Anhang C: SU(2) $×$ U(1)-Eichinvarianz von $H L$

H μ † 2 † [ † ]2 L (§) = [D ⊕(§)] [D μ⊕ (§)] - μ◟-Φ-(x)Φ-(x-) -◝λ◜-Φ-(x-)Φ-(x)-◞ -V(⊕)

mit der kovarianten Ableitung:

μ [ μ 1 μ ′ μ ] D Φ (x) = ∂ + i-g τjW j (x) + ig Y B (x) Φ (x) 2

Die Invarianz von $V (Φ)$ ist sofort einzusehen.Für den Rest ergibt sich:

U(1)-Invarianz:

μ ′ [ μ 1 ′μ ′ ′μ ] ′ [D Φ (x)] = ∂ + i-gτjW j (x) + igY B (x) Φ (x) [ 2 [ ]] = ∂μ + i1gτj W μ(x) - ∂μωj(x ) - gϵijkωk(x)W μ(x ) eig′Yf(x)Φ (x) 2 j i + [ig′Y [B μ(x) - ∂μf(x)]]eig′Yf(x)Φ (x)

SU(2)-Invarianz:

[ 1 ′ ′ ] [D μΦ (x)]′ = ∂μ + i-gτjW jμ(x) + ig′Y B μ(x) Φ ′(x) [ 2 [ ]] = ∂μ + i1gτ W μ(x) - ∂μω (x ) - gϵ ω (x)W μ(x ) eigτjωj(x)Φ(x) 2 j j j ijk k i + [ig′Y [B μ(x) - ∂μf(x)]]eigτjωj(x)Φ(x )

Diese Invarianzen können gezeigt werden!

5.4 Anhang D: SU(2) $×$ U(1) Eichinvarianz von $LH L$

Da die SU(2) $×$ U(1) Eichinvarianz von $LL, LB$ und $LH$ schon gezeigt wurde, genügt es, die Invarianz von $LLH$ zu bestätigen.

[ ] LLH (§) = - glΨ¯Ll (x )ψRl (x)Φ (x) + Φ†(x)ψ¯Rl (x)ΨLl (x) [ ] - gνl Ψ¯Ll (x)ψRνl(x)˜Φ (x) + ˜Φ†(x)¯ψRνl(x)ΨLl (x) (25)

$˜Φ (x)$ ist definiert durch:

[ ] ( * ) ˜Φ (x ) = - i Φ †(x)τ T = ϕ b(x ) 2 - ϕ *a(x )

(26)

Um die SU(2) $×$ U(1) Eichinvarianz nachzuweisen, benötigt man das Transformationsverhalten von $˜Φ (x)$ . Unter U(1)-Transformationen folgt aus (19) und (26):

˜ ˜′ - ig′f(x)˜ Φ(x) → Φ (x) = e 2 Φ(x )

Für infinitesimale Transformationen hat man in der SU(2):

[ 1 ] Φ (x) → Φ(x) + δΦ (x) = 1 + i-gτjωj(x) + ⋅⋅⋅ Φ (x ) 2

daraus

δΦ (x) = i1gτ ω (x)Φ (x) 2 j j

und

1 δΦ†(x) = - i-g ωj(x)Φ(x )τj 2

und mit (26) sieht man:

˜ [ † ]T [ 1- † ]T δΦ (x) = - i δΦ (x)τ2 = - i - i2gω (x)jΦ (x)τjτ2

Es gilt für die Paulimatritzen:

( ) ( ) ( ) 0 1 0 - i 1 0 τ1 = 1 0 τ2 = i 0 τ3 = 0 - 1

Hieraus ergibt sich die Relation:

T τjτ2 = - τ2τj

weiterhin gilt:

T T T [τiτj] = τj τi

und mit damit erhält man:

1 [ ]T 1 δ˜Φ (x) = i-gωj (x )τj - iδΦ †(x)τ2 = i-gωj (x )τjΦ˜(x) 2 2

Ein Vergleich zeigt nun, daß sich $˜ Φ(x)$ und $Φ(x )$ in der gleichen Art und Weise unter SU(2)-Transformationen verhalten. Damit genügt es, die erst Zeile von ( ) auf SU(2)-Eichinvarianz zu prüfen:

[ L -i1gτjωj(x) R i1gτjωj(x) † -i1gτjωj(x) ¯R i1gτjωj(x) L ] ¯Ψ l (x)e 2 ψl (x)e 2 Φ (x ) + Φ (x)e 2 ψ l (x)e 2 Ψ l (x)

[ ] = ¯ΨL (x)ψR (x)Φ(x ) + Φ †(x )¯ψR(x )ΨL (x ) l l l l

Zum Beweis der U(1)-Eichinvarianz, muß man die verschiedenen Hyperladungen für die jeweiligen Felder beachten:

ΨL (x ) → Y = - 1- l 2 ψRl (x ) → Y = - 1 1 Φ (x ) → Y = -- 2 ψRνl(x ) → Y = 0

Damit ergibt sich für den ersten Term:

[Ψ¯L (x)e- ig′(- 12)f(x)] [eig′(-1)f(x)ψR (x)][eig′(12)f(x)Φ(x)] = ¯ΨL (x)ψR (x)Φ (x ) l l l l

Die anderen Terme ergeben sich analog.Damit ist die SU(2) $×$ U1- Eichinvarianz von $LLH$ gezeigt.

5.5 Anhang E: Leptonenmassen aus $LH L$

Um zu zeigen, da die Yukawa-Wechselwirkung in $LLH$ Massen generiert, mu man das in der unitären Eichung geeichte $Φ (x)$ in $LLH$ einsetzen, ausrechnen und die entstehenden Masseterme suchen. Das Verfahren wird hier nur für die Leptonenmassen gezeigt (Zeile 1 in (25)).Der Fall für Neutrinomassen rechnet sich analog. In der unitären Eichung hat man: